已知函数f(x)=ax^2+2ax-1在区间【1，3】上的函数值恒为负值，求实数a的范围

在区间【1，3】上
ax^2+2ax-1< 0
a(x^2+2x+1)<1+a
a(x+1)^2<1+a

若a>0
x=1时
4a<1+a
a<1/3
x=3时
16a<1+a
a<1/15

0<a<1/15

若a<0
x=1时
4a<1+a
a<1/3
x=3时
16a<1+a
a<1/15
即a<0恒成立

若a＝0时
f(x)＝-1
同样恒成立

所以a的取值为
a<1/15

f(x)=ax^2+2ax-1
a=0时,符合题意
a≠0,f(x)的对称轴为x=-1
a>0时,开口向上,f(3)<0,15a-1<0,a<1/15
即0<a<1/15
a<0时,开口向下,f(1)<0,3a-1<0,a<1/3

综上所述
实数a的范围a<1/15

f(x)=ax^2+2ax-1,对称轴是x=-2a/2a=-1.
在区间【1，3】上的函数值恒为负值
1.a>0时,在[1,3]函数递增.则有:
f(3)=9a+6a-1<0,得a<1/15
2.a<0时,在[1,3]上函数递减,则有:
f(1)=a+2a-1<0,得a<1/3.即a<0
a=0时,成立,
综上所述,a<1/15

-√3<a<√3